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背景

均匀电子气（jellium）是凝聚态物理最基本的参照系：一团电子浸在均匀正电荷背景里，密度由单一参数 r_s（平均每个电子占据球的半径，以玻尔半径为单位）刻画。高密度（小 r_s）时动能主导，是普通的费米液体；密度越低（r_s 越大），库仑排斥越主导，电子最终在 r_s~100 量级"冻结"成维格纳晶体。早在 1929 年 Bloch 就预言：在结晶之前，电子可能先自发把自旋排到同一方向（巡游铁磁 / Stoner 不稳定性）——因为自旋同向迫使空间波函数完全反对称、电子互相回避，从而降低库仑能。这段"结晶前的自旋极化流体"究竟存不存在、若存在又起于哪个密度，是 jellium 相图悬了近一个世纪、且直接喂给密度泛函的核心问题。

核心问题

在维格纳结晶密度（r_s≈90–110）之前，三维均匀电子气是否存在一个有限的 r_s 区间，其基态为自旋极化（部分或完全）的巡游流体——若存在，自发极化开始的临界密度 r_s,c 与转变级别是什么；若不存在，则顺磁流体直接一阶结晶为体心立方（bcc）维格纳晶体，中间无任何极化流体相。二者必居其一，可证伪。

为什么值得做（PRL 级意义）

• 近百年的基本问题，落在教科书参照系上。 jellium 的基态能是几乎所有 DFT 交换关联泛函的源头，其自旋极化能直接进入 LSDA / 自旋密度泛函的参数化。最广为引用的 Zong–Lin–Ceperley（2002）"r_s≈50 起二阶部分极化"图景，已被写进人们对相关能自旋依赖的直觉与拟合式；若一个低偏置方法判定根本不存在极化流体，这是对一条教科书级结果的干净修正。
• 这是一桩"方法偏置驱动"的悬案——恰好是神经量子态（NN-QS）的主场。 历史结论随试探波函数精度单调收缩：Ortiz–Ballone（1999）r_s>20 即极化 → Zong–Lin–Ceperley（2002，加 backflow + 扭转平均）推到 r_s≈50 → Holzmann–Moroni（2020，迭代 backflow）极化区完全消失 → Azadi–Drummond（2022，SJB-DMC）顺磁流体直接一阶结晶、无极化流体。判据是 ~µHa/电子 量级的能量差，被试探波函数（固定节点 / 固定相）偏置支配。神经量子态在 VMC 层面没有固定节点约束、可系统性增容逼近，正是检验"无极化流体"这一结论是否稳健的独立裁判。
• 连"现代共识"都没真正定量收敛。 Holzmann–Moroni 给结晶 r_s=113(2)，Azadi–Drummond 给 r_s=86.6(7)——相差约 25%。所以无论定性（有没有极化流体）还是定量（r_s,c、结晶 r_s、转变级别）都仍然开放。
• 方法差异化 + 独有抓手。 该组的神经正则变换直接给有限温自由能、熵与自旋磁化率 χ_s——这是固定节点 DMC 拿不到的。于是不仅能定 T=0 相边界，还能由 F(ζ) 的曲率定转变级别、给出 χ_s(T,r_s) 是否出现 Stoner 式发散，把这个三维判定和该组已发表、且明确"呼吁实验验证"的二维有效质量 / 磁化率结果连成一条线。物理判定 + 方法学示范的双重 PRL 级结果。

现状与争议

非极化流体 → 维格纳晶体这一总体图景早有共识，全部分歧集中在"结晶之前有没有自旋极化流体相"，且高精度结论随方法精度系统性漂移、至今未定（按时间）：

• 极化派（最常被引用，写进自旋密度泛函）
• F. H. Zong, C. Lin, D. M. Ceperley, Spin polarization of the low-density three-dimensional electron gas, Phys. Rev. E 66, 036703 (2002), DOI 10.1103/PhysRevE.66.036703 — DMC + backflow + 扭转平均边界条件；给出从 r_s≈50(2) 起的二阶（连续）部分自旋极化转变，极化度随 r_s 增大，结晶在 r_s≈106(1)。
• "无极化流体"派（现代，低偏置）
• M. Holzmann, S. Moroni, Itinerant-electron magnetism: the importance of many-body correlations, Phys. Rev. Lett. 124, 206404 (2020), DOI 10.1103/PhysRevLett.124.206404, arXiv:1910.06554 — 迭代 backflow + 固定相 DMC；多体关联偏好非极化态，巡游磁性在结晶之上的所有密度都被压制、不存在；结晶密度更新到 r_s=113(2)。
• S. Azadi, N. D. Drummond, Low-density phase diagram of the three-dimensional electron gas, Phys. Rev. B 105, 245135 (2022), DOI 10.1103/PhysRevB.105.245135, arXiv:2201.08743 — SJB-DMC + 扭转平均 + 有限尺寸修正；顺磁流体直接一阶结晶为 bcc 维格纳晶体于 r_s=86.6(7)，无巡游铁磁流体稳定区；晶体内部 AFM→FM 转变于 r_s=93(3)。
• 神经量子态先例（方法可行性，且正当时）
• G. Cassella, H. Sutterud, S. Azadi, N. D. Drummond, D. Pfau, J. S. Spencer, W. M. C. Foulkes, Discovering quantum phase transitions with fermionic neural networks, Phys. Rev. Lett. 130, 036401 (2023), DOI 10.1103/PhysRevLett.130.036401, arXiv:2202.05183 — 把 FermiNet 推广到周期体系研究 3D HEG，自发再现费米液体 ↔ 维格纳晶体相变，并计算了自旋极化 HEG；证明同一套 NN-QS 能同时精确表达两相，但并未把自旋极化转变的能量学（µHa）在热力学极限上钉死。
• （2025 年方法学正当时）X. Li et al., Emergent Wigner phases in moiré superlattice from deep learning, Commun. Phys. 8, 350 (2025), DOI 10.1038/s42005-025-02282-z（卷期号待核实）— NN-QS 在 2025–2026 集中用于维格纳相，并强调"自旋极化在决定维格纳相中起关键作用"。
• 二维类比（已较确立，且有实验维度）
• N. D. Drummond, R. J. Needs, Phase diagram of the low-density two-dimensional homogeneous electron gas, Phys. Rev. Lett. 102, 126402 (2009), DOI 10.1103/PhysRevLett.102.126402, arXiv:1002.2101 — 2D 顺磁流体直接结晶为三角维格纳晶体于 r_s=31(1)，完全极化流体从不稳定，未找到所谓 "hybrid" 相。

共同病根：所有高精度结论都来自固定节点 / 固定相 DMC，共享同一套节点假设；方法之间的分歧本质是试探波函数偏置与有限尺寸外推，而非物理。整个领域缺一个不靠固定节点、变分上可系统改进、且能独立给出有限温热力学量的裁判。

切入路径

• 工具（手段，非卖点）：复用并外推该组的神经正则变换 / 神经量子态电子气栈——H. Xie, L. Zhang, L. Wang, Ab-initio study of interacting fermions at finite temperature with neural canonical transformation, J. Mach. Learn. 1, 38 (2022), arXiv:2105.08644（框架）；以及 H. Xie, L. Zhang, L. Wang, m^ of two-dimensional electron gas: a neural canonical transformation study*, SciPost Phys. 14, 154 (2023), DOI 10.21468/SciPostPhys.14.6.154, arXiv:2201.03156（2DEG 有效质量；公开代码 fermiflow/CoulombGas，JAX 多 GPU，已常规计算均匀电子气自由能 / 熵）。两条腿：(i) 基态神经 VMC 直接算 E(r_s,ζ)（无固定节点、变分上界、可系统增容）以定 T=0 相边界；(ii) 有限温神经正则变换给 F(r_s,T,ζ)、熵与自旋磁化率 χ_s——定转变级别 + 独立热力学交叉验证（DMC 没有的抓手）。
• 为何对该组天然可行：CoulombGas 已经在跑均匀电子气（2D 已发表验证，3D 仅是维度参数切换），自旋极化 ζ=(N_\uparrow-N_\downarrow)/N 是现成自由度；Cassella 等已独立证明同类 NN-QS 能在 3D HEG 同时表达流体与维格纳晶体。这是把该组已发表的 2D 有效质量工作沿"同一台机器"推到 3D 相图判定的最小、最自然的下一步——不必换体系、不必重写采样器。
• 最小可交付第一步（先小规模验证"分辨得动否"，而非先要相图）：取单一密度 r_s≈60（极化与否之争最敏感处），用基态神经 VMC 算 E(ζ=0) 与 E(ζ=1)，在几个闭壳层粒子数 N 上做 Monte Carlo 扭转平均 + 1/N 外推；对照 Zong–Lin–Ceperley 与 Azadi–Drummond 的 E(r_s,ζ)。关键产出是量出"在热力学极限上，Δ E=E(ζ=1)-E(ζ=0) 的可达误差棒 vs ~几十 µHa/电子的信号"——即先确认这台机器分辨得动。
• 成功判据（单一、可外推、可证伪）：在一列 r_s（50, 60, 70, 80, 90, 100）上得到带合并误差棒（变分 + 统计 + 有限尺寸）的 E(r_s,ζ)，并用破缺平移对称的 bcc 维格纳晶体神经 ansatz 给出流体–晶体能量交叉。判定：
• 若存在某 r_s 区间，min_ζ E(r_s,ζ) 在 0<ζ≤ 1 取得且低于晶体 → 极化流体相存在，读出 r_s,c 与（由 E 对 ζ 的曲率定）转变级别；
• 若 E(r_s,ζ) 对 ζ 单调上升直到被晶体反超 → 无极化流体、顺磁直接结晶，并给出结晶 r_s 与"极化流体窗口宽度"的上界。
• 以 χ_s(T) 的 Curie（趋于发散）/ Pauli（有限）行为作为独立佐证，并直接对照二维实验上报告的磁化率增强。

风险与证伪

• 首要风险——相间相对偏置 > 信号：神经 VMC 给变分上界；真正要紧的不是绝对偏置，而是 ζ=0 与 ζ=1 之间偏置之差是否小于 ~几十 µHa 的能量差。若相对偏置不可控地大于信号，结论 inconclusive。这与历史上固定节点 DMC 是同构难点，只是换成了可系统改进的神经 ansatz——增容收敛性是它能否真正"裁决"的前提。
• 有限尺寸误差远大于信号：动能壳层效应 + 交换关联 hole 的 Ewald 偏置使 FS 误差 \gg µHa 信号，必须靠扭转平均 + 多 N 外推压到信号之下；这是计算量的主要来源，也是 Azadi–Drummond/Holzmann–Moroni 之所以仍互相矛盾（r_s=87 vs 113）的根源。
• 维格纳晶体侧需要破缺平移对称的神经 ansatz（Cassella 等与 2025–2026 moiré 工作已证可行），引入晶体侧 ansatz 偏置，需与晶体 DMC 对标后方可参与"流体 vs 晶体"比较。
• 内建 go/no-go（数周内可定夺，避免空转）：第一步若显示在 r_s≈60、可达 N 与扭转平均下 Δ E 的误差棒压不到信号以下，则诚实判为"当前神经栈尚不能裁决"——这本身是有价值的方法能力边界负结果（且能给极化流体窗口的上界），而非沉没成本。
• 命题级证伪：成 = 在超越历史精度、且是热力学极限的 E(r_s,ζ) 上，给出"存在 / 不存在极化流体"的统计显著判定 + r_s,c / 结晶 r_s；败 = 相对偏置或有限尺寸外推使"极化与否"在误差棒内不可区分。

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